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Equações Ciclotômicas

Olá pessoal,

Hoje vamos analisar o seguinte problema: determinar as coordenadas cartesianas dos vértices de um polígono regular de n lados.

Para resolvermos este problema precisamos relembrar alguns conceitos sobre números complexos. Vamos lá! Um número complexo é escrito na forma z = a + bi, sendo a e b números reais e i é a unidade imaginária. Além disso, representamos R(z) = a e Im(z) = b a parte real e a parte imaginária do número z, respectivamente. Sua representação gráfica pode ser feita em um plano chamado Plano de Argand-Gauss, onde o eixo horizontal representa sua parte real e o eixo vertical representa sua parte imaginária. Como exemplo, seja z = 2 + 3i, sua representação é:

 

Dessa representação, definimos dois elementos associados a um número complexo: seu módulo e seu argumento. O módulo é a distância que o número se encontra da origem do plano e o argumento é o ângulo formado pelo segmento que liga a origem ao número complexo e pelo eixo real. Observe estes elementos a seguir:

 

 

Podemos escrever o número complexo em coordenadas polares como é mostrado a seguir.

 

 

Essa forma de representar os números complexos nos facilita na realização de algumas operações aritméticas. A multiplicação de dois números complexos em coordenadas polares é definida como

 

Vamos provar esta última igualdade

 

Disso podemos deduzir facilmente que

 

Como a potência de z esta bem definida, podemos deduzir sua raiz n-ésima como


Agora, utilizando a identidade dos números complexos temos

 

 

Portanto

 

A primeira parte da solução do nosso problema esta resolvida! Vamos analisar agora uma família de equações chamadas de Equações Ciclotômicas. Estas equações são da forma

 

O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que a equação acima possui exatamente n raízes complexas, vamos obtê-las:

 

 

E aí está a solução do nosso problema! De fato cada raiz complexa fornece a coordenada de um dos vértices do polígono regular de n lados. Vamos nos convencer disso:

1º) Toda ponto do plano representado por uma das raízes é equidistante à origem do sistema de coordenadas. (As raízes são pontos da circunferência circunscrita ao polígono com raio igual a 1 unidade)

2º) O segmento da origem a quaisquer dois vértices consecutivos formam o mesmo ângulo:

 

3º)  Quaisquer dois vértices consecutivos são equidistantes:

 

Podemos representar graficamente:

Até a próxima!



Escrito por Prof. Pardal às 02h01
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Assíntotas

Olá Pessoal,

Depois de muito tempo sem postar, vamos começar 2013 com um assunto interessante estudado inicialmente nos cursos de Cálculo 1: as assíntotas de uma função. Uma assíntota pode ser definida como uma reta, tal que na medida em que se percorre o gráfico da função seus pontos vão se tornando cada vez mais próximos dela, apesar de nunca tocá-la. É necessário ressaltar que uma assíntota não tem que ser obrigatoriamente uma reta, ela pode ser uma curva ou apenas um ponto, mas se tratando de funções elas geralmente são retas. Elas surgem no estudo do limite de funções quando os valores da variável independente tendem ao infinito ou a um valor particular em que a função não seja, necessariamente, definida. Um exemplo clássico é a função f: R* --> R,  f(x) = 1/x. Quando os valores de x tendem ao infinito, ou seja, tornam-se arbitrariamente grandes, os valores de f(x) tornam-se mais próximos de zero, apesar de nunca assumirem este valor. Ainda sobre a função f(x), podemos perceber que quando x assume valores arbitrariamente pequenos no intervalo (0,1), por exemplo, facilmente vemos que f(x) assume valores arbitrariamente grandes tendendo ao infinito (positivo, neste caso). Estas duas situações mostram que a função f(x) possui uma reta assíntota em y = 0 e uma reta assíntota em x = 0, classificadas como assíntota horizontal e vertical, respectivamente.

Vamos entender melhor este conceito para definirmos as assíntotas oblíquas. Sejam f(x) uma curva, s uma reta de equação s: y = mx + q e D(y,f(x)) a distância entre o ponto (x, f(x)) e a reta s. Se s é uma assíntota de f(x), então

Como

Concluímos que, se s é assíntota a f(x), logo:

Como o denominador é constante, temos (I)

Assumindo que s é uma assíntota de f(x), logo (II)

Portanto, por (I) e (II) podemos calcular os coeficientes da assíntota oblíqua s:

Observe que a assíntota horizontal nada mais é do que uma assíntota oblíqua cujo coeficiente angular é igual a zero. Vaja o exemplo:

Neste caso a função f(x) possui assíntota oblíqua s: y = x.

 

Até a próxima!

 

 

 



Escrito por Prof. Pardal às 16h02
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Aproximação Linear

Olá Pessoal,

Hoje vou falar sobre um conceito essencial para entendermos a diferenciabilidade de funções com várias variáveis e uma ferramenta muito útil para encontrarmos a solução de algumas funções de um variável real. A aproximação linear. Pelo estudo diferencial desenvolvido nas funções de uma variável real sabemos que a derivada de uma função representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta tangente à função em um dado ponto. Nas funções de várias variáveis observamos que essa ideia geométrica não se aplica totalmente, assim a diferencial de uma função dessa natureza é considerada como uma aproximação linear que faz com que o erro encontrado tenda fortemente a zero. Chega de teoria, vamos ao que interessa, seja a função:

Vamos utilizar uma aproximação linear de f(x) em torno de x = 1 para definirmos o valor da raiz quadrada de 1,02 e de 0,99. Observe que tal tarefa seria praticamente impossível de ser realizada sem uma máquina de calcular. Chamaremos de A(X) a aproximação linear de f(x), que é dada:

A(x) = f(c) + f'(c) * (x - c)

Neste caso temos c = 1, assim:

A(x) = 1 + (x-1)/2

A tarefa de derivar a função f(x) fica como exercício! Agora que possuímos a função A(x) vamos calcular A(1,02) e A(0,99):

A(1,02) = 1 + (0,02)/2 = 1,01

A(0,99) = 1 + (-0,01)/2 = 0,99

Utilize uma calculadora e verifique que a raiz quadrada dos valores indicados, aproximadas em duas casa decimais são exatamente os valores indicados!

Para treinar, faça uma aproximação de ln(1,02)...

Até a próxima!

 



Escrito por Prof. Pardal às 00h34
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Regra de Três Composta

Olá Pessoal,

Ultimamente alguns alunos têm me procurado com dúvidas sobre como se resolver exercícios envolvendo regra de três composta. Antes de falarmos sobre esta técnica muito util e presente em diversas questões de concursos públicos atuais é válido relembrarmos a relação de proporcionalidade entre grandezas.

Duas grandezas 'a' e 'b' são ditas diretamente proporionais se a divisão de a por b mantém-se constante, ou seja:

a/b = k

Já se o propudo destas duas grandezas se mantém constante, elas são grandezas inversamente proporcionais, ou seja:

a*b = k

Agora vamos voltar à regra de três composta. Esta técnica é sempre utilizada quando há o relacionamento de mais do que duas grandezas, vamos ao exemplo:

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Montaremos uma tabela para nos ajudar, onde as grandezas de mesma espécie ficarão na mesma coluna e as grandezas distintas que se relacionam ficarão na mesma linha, veja:

Agora devemos tomar como foco a coluna onde encontra-se o valor que queremos definir. Observe que quanto menos horas trabalhadas, maior o número de caminhões necessários, assim a relação entre estas grandezas pode ser vista como:

a = k/b

Onde quando menor o valor de b, maior será o valor de a.

Já no caso de volume de areia, quanto mais caminhões, maior será o volume de areia carregado, assim:

a = kb

Quanto maior o valor de b, maior será o valor de a. Portanto a quantidade de caminhões é diretamente proporcional ao volume de areia e inversamente proporcional ao número de horas. Após ter identificado a relação de proporcionalidade devemos igualar a razão que contém o termo x ao produto das outras razões, sendo que aquela grandeza que for inversamente proporcional terá sua razão invertida, ou seja, o denominador e o numerador serão trocados, veja:

Observe que a razão original é 8/5, mas como a quantidade de horas é inversamente proporcional a quantidade de caminhões invertemos esta razão. Termine as contas da equação acima e conclua que x = 25. ATENÇÃO: é comum utilizar uma seta indicando a relação de proporcionalidade das grandezas, entretanto acredito que se você entende o conceito de relação de proporcionalidade entre grandezas isto se torna desnecessário. Minha dica é: tome cuidado com esta utilização, pois tenho verificado uma grande incidência de erros por tentativas de utilizá-la sem a devida compreensão do conceito.

Espero ter ajudado falando um pouco desta importante técnica, procure fontes na internet para aprofundar no assunto. O site www.somatematica.com.br possui um rico material, este exemplo foi retirado de lá, visite-o e boa diversão!!!!

Até a próxima...



Escrito por Prof. Pardal às 01h34
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O Paradoxo da Trombeta de Gabriel

Olá pessoal,

Depois de um longo tempo sem postar, hoje falarei sobre uma interessante curiosidade matemática. Essa curiosidade diz respeito a uma superfície chamada: trombeta do anjo Gabriel. Esta superfície é gerada pela rotação do gráfico da função f(x) = 1/x em torno do eixo da abscissas no intervalo [1, infinito). O resultado da rotação resultará na superfície abaixo:

 

Para calcular o volume da região limitada pela superfície podemos proceder com a integração da sua função geradora, veja:

 

Portanto o volume da região limitada pela superfície é aproximadamente 3,14 unidades de volume. Agora vejamos a área da mesma superfície:

Aqui encontra-se a surpresa! Pelo teste do limite do quociente podemos perceber facilmente que a integral imprópria acima diverge, assim sua área é infinita. Portanto com um pouco mais de 3 unidades cúbicas de tinta o anjo Gabriel consegue encher sua trombeta, entretanto mesmo com toda a tinta do mundo ele não ceseguiria pintá-la.

Esta é apenas uma incongruência matemática, mas é interessante para se verificar a versatilidade do cálculo integral em uma de suas inúmeras aplicações. Não foi meu intuito discutir os procedimentos de integração neste tópico, sendo assim, se você detém o conhecimento de cálculo diferencial e integral faça os cálculos passo a passo e verifique o resultado, caso contrário falaremos sobre essas metodologias num futuro próximo.

Até a próxima! 



Escrito por Prof. Pardal às 00h24
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